首页 > 设数列{an}，{bn}满足：a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn+1=2anbnan+bn．（1）用an表示an+1；并证明：∀n∈N+，an＞2；（2）证明：{lnan+2an-

设数列{an}，{bn}满足：a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn+1=2anbnan+bn．（1）用an表示an+1；并证明：∀n∈N+，an＞2；（2）证明：{lnan+2an-

题目简介

设数列{an}，{bn}满足：a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn+1=2anbnan+bn．（1）用an表示an+1；并证明：∀n∈N+，an＞2；（2）证明：{lnan+2an-

题目详情

设数列{an}，{bn}满足：a1=4，a2=
5
2
，an+1=
an+bn
2
，bn+1=
2anbn
an+bn
．
（1）用an表示an+1；并证明：∀n∈N+，an＞2；
（2）证明：{ln
an+2
an-2
}是等比数列；
（3）设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与2(n+
4
3
)是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：济南二模

答案

（1）由已知得a1=4，a2=class="stub"5
2
，所以b1=1故an+1bn+1=anbn═a1b1=4；
由已知：an＞0，a1＞2，a2＞2，bn=class="stub"4
an
∴an+1=
an
2
+class="stub"2
an
，
由均值不等式得an+1＞2
故∀n∈N+，an＞2

（2）
an+1+2
an+1-2
=(
an+2
an-2
)2，an+1+2=
(an+2)2
2an
，
an+1-2=
(an-2)2
2an

所以ln
an+1+2
an+1-2
=2ln
an+2
an-2
，所以{ln
an+2
an-2
}是等比数列

（3）由（2）可知ln
an+2
an-2
=(ln3)×2n-1=ln32n-1∴an=
32n-1+1
32n-1-1

设Cn=class="stub"4
32n-1
=class="stub"4
(32n-2)(32n-2)
＜class="stub"1
4
Cn-1，（n≥2）
Cn＜class="stub"1
4
Cn-1＜(class="stub"1
4
)2Cn-2＜＜(class="stub"1
4
)n-1C1=2(class="stub"1
4
)n-1
∴当n≥2时，an＜2+2(class="stub"1
4
)n-1
Sn=a1+a2++an＜4+2(n-1)+2[class="stub"1
4
+(class="stub"1
4
)2++(class="stub"1
4
)n-1]
=2n+2+2×
class="stub"1
4
(1-class="stub"1
4n-1
)
1-class="stub"1
4

=2n+2+class="stub"2
3
(1-class="stub"1
4n-1
)＜2n+class="stub"8
3
．

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