已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足b1=2,anbn+1=2an+1bn.(1)求数列{an}的通项an;(2)求证:数列为等比

题目简介

已知数列{a_n}满足:a₁=1,a₂=2,2a_n=a_n-1+a_n+1(n≥2,n∈N^*),数列{b_n}满足b₁=2,a_nb_n+1=2a_n+1b_n.
(1)求数列{a_n}的通项a_n;
(2)求证:数列

为等比数列,并求数列{b_n}的通项公式.

题型：解答题难度：中档来源：不详

(1) an= n (2) bn=n·2n

解:(1)∵2an=an-1+an+1,∴数列{an}为等差数列.
又a1=1,a2=2,所以d=a2-a1=2-1=1,
数列{an}的通项an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.
(2)∵an=n,∴nbn+1=2(n+1)bn,∴

=2·

,
所以数列

是以

=2为首项,q=2为公比的等比数列,
∴

=2×2n-1,∴bn=n·2n.