首页 > （理）已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=pan+n-1(n为奇数)-an-2n(n为偶数)．（1）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前3项的和

（理）已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=pan+n-1(n为奇数)-an-2n(n为偶数)．（1）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前3项的和

题目简介

（理）已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=pan+n-1(n为奇数)-an-2n(n为偶数)．（1）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前3项的和

题目详情

（理）已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn，an+1=
pan+n-1(n为奇数)
-an-2n(n为偶数)
．
（1）若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1（n≥1），试求数列{bn}前3项的和T3；
（2）若数列{cn}满足cn=a2n，试判断{cn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）当p=
1
2
时，对任意n∈N*，不等式S2n+1≤log
1
2
(x2+3x)都成立，求x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）据题意得bn=a2n+a2n+1=a2n-a2n-2×2n=-4n，
所以{bn}成等差数列，故Tn=class="stub"-4-4n
2
•n=-2n（n+1）（4分）
∴T3=-24
（2）（理）当p=class="stub"1
2
时，数列{cn}成等比数列；
当p≠class="stub"1
2
时，数列{cn}不为等比数列
理由如下：因为cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p（-a2n-4n）+2n=-pcn-4pn+2n，
所以
cn+1
cn
=-p+
2n(1-2p)
cn
，
故当p=class="stub"1
2
时，数列{cn}是首项为1，公比为-class="stub"1
2
等比数列；
当p≠class="stub"1
2
时，数列{cn}不成等比数列
（3）bn=a2n+a2n+1=-4n，所以{bn}成等差数列
当p=class="stub"1
2
时a2n=cn=(-class="stub"1
2
)n-1，
因为S2n+1=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n+1）S2n+1=a1+b1+b2+…+bn=2+（-4-8-12-…-4n）
=-2n2-2n+2（n≥1）
又S2n+3-S2n+1=-4n-4＜0所以{S2n+1}单调递减
当n=1时，S3最大为-2所以-2≤logclass="stub"1
2
(x2+3x)
∴
x2+3x＞0
x2+3x≤4
⇒x∈[-4，-3)∪(0，1]

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