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> 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an-1an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求a1、d和Tn
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an-1an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求a1、d和Tn
题目简介
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an-1an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求a1、d和Tn
题目详情
已知数列{a
n
}是各项均不为0的等差数列,公差为d,S
n
为其前n项和,且满足
a
2n
=
S
2n-1
,n∈N
*
.数列{b
n
}满足
b
n
=
1
a
n
-
1
a
n+1
,T
n
为数列{b
n
}的前n项和.
(1)求a
1
、d和T
n
;
(2)是否存在实数λ,使对任意的n∈N
*
,不等式λT
n
<n+8恒成立?若存在,请求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:中档
来源:长宁区二模
答案
(1)由题意可得,
a
21
=
S
1
=
a
1
,
∵a1≠0,
∴a1=1.….(1分)
∵
a
22
=
S
3
=
a
1
+
a
2
+
a
3
,
∴(1+d)2=3+3d,
∴d=-1,2,当d=-1时,a2=0不满足条件,舍去.
因此d=2.….(4分)
∴an=2n-1,
∴
b
n
=
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
,
∴
T
n
=1-
class="stub"1
3
+
class="stub"1
3
-
class="stub"1
5
+…+
class="stub"1
2n-1
-
class="stub"1
2n+1
∴
T
n
=1-
class="stub"1
2n+1
=
class="stub"2n
2n+1
.….(6分)
(2)由题意可得,
λ•
class="stub"2n
2n+1
<n+8
,
∴
λ<
(2n+1)(n+8)
2n
=
class="stub"1
2
(2n+
class="stub"8
n
+17)
,….(8分)
∵
2n+
class="stub"8
n
≥8
,当n=2时等号成立,….(10分)
∴
class="stub"1
2
(2n+
class="stub"8
n
+17)
最小值为
class="stub"25
2
,….(12分)
因此
λ<
class="stub"25
2
. ….(14分)
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∴bn=
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∴Tn=1-
(2)由题意可得,λ•
∴λ<
∵2n+
∴
因此λ<