已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an-1an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求a1、d和Tn

题目简介

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an-1an+1,Tn为数列{bn}的前n项和.(1)求a1、d和Tn

题目详情

已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足
a2n
=S2n-1
,n∈N*.数列{bn}满足bn=
1
an
-
1
an+1
,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求a1、d和Tn
(2)是否存在实数λ,使对任意的n∈N*,不等式λTn<n+8恒成立?若存在,请求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:长宁区二模

答案

(1)由题意可得,
a21
=S1=a1

∵a1≠0,
∴a1=1.….(1分)
a22
=S3=a1+a2+a3

∴(1+d)2=3+3d,
∴d=-1,2,当d=-1时,a2=0不满足条件,舍去.
因此d=2.….(4分)
∴an=2n-1,
bn=class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1

Tn=1-class="stub"1
3
+class="stub"1
3
-class="stub"1
5
+…+class="stub"1
2n-1
-class="stub"1
2n+1

Tn=1-class="stub"1
2n+1
=class="stub"2n
2n+1
.….(6分)
(2)由题意可得,λ•class="stub"2n
2n+1
<n+8

λ<
(2n+1)(n+8)
2n
=class="stub"1
2
(2n+class="stub"8
n
+17)
,….(8分)
2n+class="stub"8
n
≥8
,当n=2时等号成立,….(10分)
class="stub"1
2
(2n+class="stub"8
n
+17)
最小值为class="stub"25
2
,….(12分)
因此λ<class="stub"25
2
.                 ….(14分)

更多内容推荐