已知一系列的抛物线Cn的方程为y=anx2(n∈N*,an>1),过点An(n,ann2)作该抛物线Cn的切线ln与y轴交于点Bn,Fn是Cn的焦点,△AnBnFn的面积为n3(1)求数列{an}的通

题目简介

已知一系列的抛物线Cn的方程为y=anx2(n∈N*,an>1),过点An(n,ann2)作该抛物线Cn的切线ln与y轴交于点Bn,Fn是Cn的焦点,△AnBnFn的面积为n3(1)求数列{an}的通

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已知一系列的抛物线Cn的方程为y=anx2(n∈N*,an>1),过点An(n,ann2)作该抛物线Cn的切线ln与y轴交于点 Bn,Fn是 Cn的焦点,△AnBnFn的面积为n3
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:1+
3
2
≤an<2;
(3)设bn=2an-an2,求证:当n≥1时,b1+
2
b2+
3
b3+…+
n
bn
3
4
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)An(n,ann2)在抛物线Cn上,
∵y=anx2,
∴y′=2anx,
则切线ln的斜率为2ann,
切线方程为  y-ann2=2 ann(x-n)…(2分)
令x=0,得y=-ann2,,
∴Bn(0,-ann2),
又Fn(0,class="stub"1
4an

∴S_△AnBnFn=class="stub"1
2
class="stub"1
4an
+ann2)n=n3
class="stub"1
4an
+ann2=2n2,即4n2an2-8n2an+1=0,…(3分)
∴△=64n4-16n2=16n2(4n2-1)>0,
∵an>1,
∴an=1+class="stub"1
2n
4n2-1
…(4分)
(2)证明:∵an=1+class="stub"1
2n
4n2-1
=1+
1-class="stub"1
4n2

{an}为递增数列,
∴an≥1+
1-class="stub"1
4
=1+
3
2
.…(6分)
又an<1+
1
=2,
∴1+
3
2
≤an<2.…(8分)
(3).证明:bn=2an-
a2n
=class="stub"1
4n2
…(9分)
b1+
2
b2+
3
b3+…+
n
bn
=class="stub"1
4
(class="stub"1
12
+
2
22
+
3
32
+…+
n
n2
)

∵k≥2时,
k
k2
=class="stub"1
k
k
k
=class="stub"2
(
k
+
k
)
k
k
<class="stub"2
(
k
+
k-1
)
k
k-1

=
2(
k
-
k-1
)
k
k-1
=2(class="stub"1
k-1
-class="stub"1
k
)
…(12分)
b1+
2
b2+
3
b3+…+
n
bn≤class="stub"1
4
[1+2(1-class="stub"1
2
+class="stub"1
2
-class="stub"1
3
+…+class="stub"1
k-1
-class="stub"1
k
)]

=class="stub"1
4
[1+2(1-class="stub"1
n
)]=class="stub"1
4
(3-class="stub"2
n
)<class="stub"3
4
…(14分)

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