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已知数列{an}，{bn}满足：a1=3b1=3，a2=6，bn+1=2bn-2n，bn=an-nan-1（n≥2，n∈N*）．（I）探究数列{bn2n}是等差数列还是等比数列，并由此求数列{bn}的

题目简介

已知数列{an}，{bn}满足：a1=3b1=3，a2=6，bn+1=2bn-2n，bn=an-nan-1（n≥2，n∈N*）．（I）探究数列{bn2n}是等差数列还是等比数列，并由此求数列{bn}的

题目详情

已知数列{an}，{bn}满足：a1=3b1=3，a2=6，bn+1=2bn-2n，bn=an-nan-1（n≥2，n∈N*）．
（I）探究数列{
bn
2n
}是等差数列还是等比数列，并由此求数列{bn}的通项公式；
（II）求数列{nan}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：安徽模拟

答案

（I）∵bn+1=2bn-2n ，∴bn+1-2bn =-2n ，∴
bn+1
2n+1
- 
bn
2n
=-class="stub"1
2
．
∴数列{
bn
2n
 }构成以class="stub"1
2
为首项，以-class="stub"1
2
为公差的等差数列，∴
bn
2n
=class="stub"1
2
-class="stub"1
2
 （n-1），
∴bn=2n(1-class="stub"n
2
 ）．
（II）∵bn=an-nan-1，∴an-2n=nan-1-n2n-1=n（ an-1-2n-1 ），
∴
an-  2n
an-1-2n-1
=n，
∴
an- 2n
a1-2
=
an- 2n
an-1-2n-1
•
an-1-2n-1
an-2-2n-2
•
an-2-2n-2
an-3-2n-3
…
a2-22
a1-2
 
=n（n-1）（n-2）×…×3×2，又 a1=3，故 an=n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+2n，
nan=n×n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+n 2n=（n+1）!-n!+n 2n，
∴sn=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+（（n+1）!-n!）+（1×2+2×22+…+n2n ）
=（n+1）!-1+（ 1×2+2×22+…+n2n ）．
令Tn=1×2+2×22+…+n2n，①则 2Tn=1×22+2×23+…+n 2n+1，②
①-②可得，-Tn=2+22+23+…-n 2n+1，∴Tn=（n-1）2n+1+2，
∴sn=（n+1）!+（n-1）2n+1+1．

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