首页 > 已知数列{an}中，a1=a，a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，且2Sn=n（3a1+an），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若bn=2(n=1)8an+1•an

已知数列{an}中，a1=a，a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，且2Sn=n（3a1+an），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若bn=2(n=1)8an+1•an

题目简介

已知数列{an}中，a1=a，a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，且2Sn=n（3a1+an），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若bn=2(n=1)8an+1•an

题目详情

已知数列{an}中，a1=a，a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，且2Sn=n（3a1+an），n∈N*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=
2  (n=1) 
8
an+1•an+2
(n≥2) 
Tn是数列{bn}的前n项和，且an+2•Tn＜m•
a2n+2
+2对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）∵2Sn=n（3a1+an），S1=a1=a，
∴2a=4a，
所以a=0．…..（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 Sn=
nan
2
，
∴Sn+1=
(n+1)an+1
2
．
∴an+1=Sn+1-Sn=
(n+1)an+1
2
-
nan
2
．
∴（n-1）an+1=nan．
∴当n≥2时，
an+1
an
=class="stub"n
n-1
．
∴
an+1
an
=class="stub"n
n-1
an
an-1
=class="stub"n-1
n-2
，…，
a3
a2
=class="stub"2
1
，
∴
an+1
a2
=n．
∴an=2（n-1），n≥2．
∵a1=a=0满足上式，
∴an=2（n-1），n∈N*．…..（6分）
（Ⅲ）当n≥2时，bn=class="stub"8
2n•2(n+1)
=class="stub"2
n(n+1)
=2(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)．…..（7分）
又b1=2，
∴Tn=b1+b2+…+bn=2+2(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+2(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)…..（9分）
=2+2(class="stub"1
2
-class="stub"1
n+1
)=class="stub"3n+1
n+1

所以Tn=class="stub"3n+1
n+1
．…..（10分）
因为an+2•Tn＜m•
a2n+2
+2对一切n∈N*都成立，
即2(n+1)•class="stub"3n+1
n+1
＜m•4(n+1)2+2对一切n∈N*都成立．
∴m＞class="stub"3
2
.class="stub"n
n2+2n+1
=class="stub"3
2
.class="stub"1
n+class="stub"1
n
+2
．…..（12分）
∵n+class="stub"1
n
≥2，当且仅当n=class="stub"1
n
，即n=1时等号成立．
∴n+class="stub"1
n
+2≥4．
∴class="stub"1
n+class="stub"1
n
+2
≤class="stub"1
4

∴m＞class="stub"3
8
．…..（14分）

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