如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，E、F分别是棱CC1、AB中点，（1）求证：CF⊥BB1；（2）求四棱锥A-ECBB1的体积；（3）判断直线CF和

题目简介

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，E、F分别是棱CC₁、AB中点，
（1）求证：CF⊥BB₁；
（2）求四棱锥A-ECBB₁的体积；
（3）判断直线CF和平面AEB₁的位置关系，并加以证明。

题型：解答题难度：中档来源：0107 模拟题

（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱， ∴BB1⊥平面ABC，又平面ABC， ∴CF⊥BB1。（2）解：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱， ∴BB1⊥平面ABC，又平面ABC， ∴，， ∴AC⊥BC，， ∴AC⊥平面ECBB1， ∴， ∵E是棱CC1的中点， ∴， ∴， ∴。
（3）解：CF∥平面AEB1；证明如下：取AB1的中点G，连结EG，FG， ∵F，G分别是棱AB、AB1中点， ∴，又， ∴， ∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，又平面AEB，平面AEB1， ∴CF∥平面AEB1。