如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CD的中点.(1)求证:A1C∥平面AD1E;(2)在对角线A1C上是否存在点P,使得DP⊥平面AD1E?若存在,求出CP的长;若不存在,请说

题目简介

如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CD的中点.(1)求证:A1C∥平面AD1E;(2)在对角线A1C上是否存在点P,使得DP⊥平面AD1E?若存在,求出CP的长;若不存在,请说

题目详情

如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CD的中点.
(1)求证:A1C∥平面AD1E;
(2)在对角线A1C上是否存在点P,使得DP⊥平面AD1E?若存在,求出CP的长;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:模拟题

答案

(1)证明:如图,连接A1D交AD1于点F,连接EF,
因为四边形ADD1A1是正方形,所以F是A1D的中点,
又E是CD的中点,所以EF∥A1C,
因为EF平面AD1E,A1C平面AD1E,
所以A1C∥平面AD1E.
(2)解:在对角线A1C上存在点P,且当时,DP⊥平面AD1E。
证明如下:因为四边形ADD1A1是正方形,所以AD1⊥A1D,
因为CD⊥平面ADD1A1,AD1平面ADD1A1,所以CD⊥AD1,
又因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1CD,
因为AD1平面AD1E,
所以平面AD1E⊥平面A1CD,
作DP⊥A1C于P,因为EF∥A1C,所以DP⊥EF,
因为DP平面A1CD,平面A1CD∩平面AD1E=EF,
所以DP⊥平面AD1E,
由Rt△A1CD∽Rt△DCP,得
所以当时,DP⊥平面AD1E。

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