如图,△BCD是等边三角形,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,BC,AB的中点,将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.(1)求证:平面GNM∥平面ADC′;(2)

题目简介

如图,△BCD是等边三角形,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,BC,AB的中点,将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.(1)求证:平面GNM∥平面ADC′;(2)

题目详情

如图,△BCD是等边三角形,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,BC,AB的中点,将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B.
(1)求证:平面GNM平面ADC′;
(2)求证:C′A⊥平面ABD.360优课网
题型:解答题难度:中档来源:东城区二模

答案


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证明:(1)因为M,N分别是BD,BC′的中点,
所以MNDC′.
因为MN?平面ADC′,DC′?平面ADC′,
所以MN平面ADC′.
同理NG平面ADC′.
又因为MN∩NG=N,
所以平面GNM平面ADC′.
(2)因为∠BAD=90°,所以AD⊥AB.
又因为AD⊥C′B,且AB∩C′B=B,
所以AD⊥平面C′AB.
因为C′A?平面C′AB,所以AD⊥C′A.
因为△BCD是等边三角形,AB=AD,
不防设AB=1,则 BC=CD=BD=
2
,可得C′A=1.
由勾股定理的逆定理,可得AB⊥C′A.
因为AB∩AD=A,所以C′A⊥平面ABD.           …(14分)

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