在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上。(1)求证:DE//平面A

题目简介

在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上。(1)求证:DE//平面A

题目详情

在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC,AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上。
(1)求证:DE//平面ABC;
(2)求二面角E-BC-A的余弦;
(3)求多面体ABCDE的体积。
题型:解答题难度:偏难来源:0112 月考题

答案

解:(1)由题意知,△ABC,△ACD都是边长为2的等边三角形,
取AC中点O,连接BO,DO,则BO⊥AC,DO⊥AC,
∵平面ACD⊥平面ABC,
∴DO⊥平面ABC,作EF平面ABC,
那么EF//DO,根据题意,点F落在BO上,
易求得
所以四边形DEFO是平行四边形,DE//OF,
平面ABC,平面ABC,
∴DE∥平面ABC。
(2)作FG⊥BC,垂足为G,连接FG,
∵EF⊥平面ABC,根据三垂线定理可知,EG⊥BC,
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角,
∴FG=BF·sin∠FBG=


即二面角E-BC-A的余弦值为
(3)∵平面ACD⊥平面ABC,OB⊥AC,
 ∴OB⊥平面ACD,

∴DE⊥平面DAC,
∴三棱锥E-DAC的体积
又三棱锥E-ABC的体积
∴多面体DE-ABC的体积为V=V1-V2=

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