如图,线段AB,CD所在直线是异面直线,E,F,G,H分别是线段AC,CB,BD,DA的中点.(1)求证:EFGH共面且AB∥面EFGH,CD∥面EFGH;(2)设P,Q分别是AB和CD上任意一点,求

题目简介

如图,线段AB,CD所在直线是异面直线,E,F,G,H分别是线段AC,CB,BD,DA的中点.(1)求证:EFGH共面且AB∥面EFGH,CD∥面EFGH;(2)设P,Q分别是AB和CD上任意一点,求

题目详情

如图,线段AB,CD所在直线是异面直线,E,F,G,H分别是线段AC,CB,BD,DA的中点.
(1)求证:EFGH共面且AB∥面EFGH,CD∥面EFGH;
(2)设P,Q分别是AB和CD上任意一点,求证:PQ被平面EFGH平分.
题型:证明题难度:中档来源:同步题

答案

证明:(1)∵E,F,G,H分别是AC,CB,BD,DA的中点,
∴EH∥CD,FG∥CD,
∴EH∥FG,因此,E,F,G,H共面,
∵EH∥CD,平面EFGH,EH平面EFGH,
∴CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH。
(2)设PQ∩平面EFGH=N,连接PC,设PC∩EF=M,
△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN,
∵CQ∥平面EFGH,平面PCQ,
∴CQ∥MN,
∵EF是△ABC是的中位线,
∴M是PC的中点,则N是PQ的中点,即PQ被平面EFGH平分.

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