如图,已知一次函数y=-34x+3的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动,同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动,运动时间用-数学

题目简介

如图,已知一次函数y=-34x+3的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动,同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动,运动时间用-数学

题目详情

如图,已知一次函数y=-
3
4
x+3
的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动,同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动,运动时间用t(单位:秒)表示.
(1)求AB的长;
(2)当t为何值时,△ACD与△ABO相似?并直接写出此时点C的坐标.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)当x=0时,y=3;当y=0时,x=4,
∴A(4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB=
32+42
=5;

(2)依题意BC=t,AC=5-t,AD=t,
若△ACD△ABO相似,
class="stub"AC
AB
=class="stub"AD
AO

代入得:
class="stub"5-t
5
=class="stub"t
4

解得:t=class="stub"20
9

∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4-class="stub"20
9
=class="stub"16
9

再把x=class="stub"16
9
带入一次函数解析式,得y=class="stub"5
3

∴此时C(class="stub"16
9
class="stub"5
3

若△ACD△AOB相似,
class="stub"AD
AB
=class="stub"AC
AO

class="stub"t
5
=class="stub"5-t
4

∴t=class="stub"25
9

AC=5-t=class="stub"20
9

再过C点做CE⊥OA于E,
然后△ACEABO,
class="stub"AE
AO
=class="stub"AC
AB

class="stub"AE
4
=
class="stub"20
9
5

解得AE=class="stub"16
9

∴OE=AO-AE=4-class="stub"16
9
=class="stub"20
9

而且又∵class="stub"CE
OB
=class="stub"AE
AO
,即class="stub"CE
3
=
class="stub"16
9
4

解得CE=class="stub"4
3
.所以C(class="stub"20
9
class="stub"4
3

∴C(class="stub"16
9
class="stub"5
3
)或(class="stub"20
9
class="stub"4
3

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