首页 > 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接-数学

如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接-数学

题目简介

如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接-数学

题目详情

如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1）
∵A（-3，4），
∴AE=4OE=3，
∴OA=
AE2+OE2
=5，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=0A=5，
∴C（5，0）（1分）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵
5k+b=0
-3k+b=4
，
∴
k=-class="stub"1
2
b=class="stub"5
2
，
∴直线AC的解析式为y=-class="stub"1
2
x+class="stub"5
2
．（1分）

（2）由（1）得M点坐标为（0，class="stub"5
2
），
∴OM=class="stub"5
2
，
如图（1），当P点在AB边上运动时
由题意得OH=4，
∴HM=OH-OM=4-class="stub"5
2
=class="stub"3
2
，
∴s=class="stub"1
2
BP•MH=class="stub"1
2
（5-2t）•class="stub"3
2
，
∴s=-class="stub"3
2
t+class="stub"15
4
（0≤t＜class="stub"5
2
），2分
当P点在BC边上运动时，记为P1，
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴△OMC≌△BMC，
∴OM=BM=class="stub"5
2
，∠MOC=∠MBC=90°，
∴S=class="stub"1
2
P1B•BM=class="stub"1
2
（2t-5）class="stub"5
2
，
∴S=class="stub"5
2
t-class="stub"25
4
（class="stub"5
2
＜t≤5），2分

（3）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，
∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=class="stub"1
2
，（1分）
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴class="stub"AQ
CQ
=class="stub"AP
CO
=class="stub"1
5
，
在Rt△AEC中，AC=
AE2+EC2
=
42+82
=4
5
，
∴AQ=
2
5
3
，QC=
10
5
3
，
在Rt△OHB中，OB=
HB2+HO2
=
22+42
=2
5
，
∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK，
∴OK=
5
，AK=KC=2
5
，
∴QK=AK-AQ=
4
5
3
，
∴tan∠OQC=class="stub"OK
QK
=class="stub"3
4
，（1分）
当P点在BC边上运动时，如图（3），
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴class="stub"BM
BP
=class="stub"HM
HB
，即
class="stub"5
2
BP
=
class="stub"3
2
2
，
∴BP=class="stub"10
3
，
∴t=class="stub"25
6
，（1分）
∴PC=BC-BP=5-class="stub"10
3
=class="stub"5
3
．
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，
∴class="stub"CQ
AQ
=class="stub"CP
AO
，
∴class="stub"CQ
AQ
=class="stub"1
3
，
CQ=class="stub"1
4
AC=
5
，
∴QK=KC-CQ=
5
，
∵OK=
5
，
∴tan∠OQK=class="stub"OK
KQ
=1．（1分）
综上所述，当t=class="stub"1
2
时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为class="stub"3
4
．
当t=class="stub"25
6
时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．

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