如图,在平面直角坐标系中,直线y=-43x+12与x轴交于点A,与y轴交于点B,动点P从点A出发沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为每秒3个单位长度、4个单位长度-数学

题目简介

如图,在平面直角坐标系中,直线y=-43x+12与x轴交于点A,与y轴交于点B,动点P从点A出发沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为每秒3个单位长度、4个单位长度-数学

题目详情

如图,在平面直角坐标系中,直线y=-
4
3
x+12
与x轴交于点A,与y轴交于点B,动点P从点A出发沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为每秒3个单位长度、4个单位长度、5个单位长度,直线l从与x轴重合的位置出发,以每秒
4
3
个单位长度的速度沿y轴向上平移,移动过程中直线l分别与直线OB、AB交于点E、F,若点P与直线l同时出发,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周回到点A时,直线l和点P同时停止运动,设运动时间为t秒,请解答下列问题:
(1)求A、B两点的坐标;
(2)当t为何值时,点P与点E重合?
(3)当t为何值时,点P与点F重合?
(4)当点P在AO-OB上,且点P、E、F不在同一直线上时,设△PEF的面积为S,请直接写出S关于t的函数解析式,并写出t的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)令x=0,得y=12,令y=0,得x=9
∴与y轴交点B的坐标为(0,12),与x轴交点A的坐标为(9,0);
(2)点P在OA上运动的时间为9÷3=3秒,

点E在OB上移动的距离为3×class="stub"4
3
=4,
点P和点E重合的时间为:3+4÷(4-class="stub"4
3
)=class="stub"9
2
秒,
当t=class="stub"9
2
秒,点P与点E重合;

(3)点P在OA、OB上运动的时间和为9÷3+12÷4=6秒,
点E在OB上移动的距离为6×class="stub"4
3
=8,
AB=
122+92
=15
∵EFOA
∴△BEF△BOA
class="stub"BE
BO
=class="stub"BF
BA

class="stub"12-8
12
=class="stub"BF
15

解得BF=5,
则点F运动的速度为(15-5)÷6=class="stub"5
3
个单位/秒,
∴点P与点F重合的时间为5÷(5+class="stub"5
3
)+6=class="stub"27
4
秒;

(4)∵EFOA
∴△BEF△BOA
class="stub"EF
OA
=class="stub"BE
BO

class="stub"EF
9
=
12-class="stub"4
3
t
12

EF=9-t
①当点P在OA上运动,即0<t≤3;
S=class="stub"1
2
×(9-t)×class="stub"4
3
t=-class="stub"2
3
t2+6t;
②当点P在OB上运动,即3<t≤6且t≠class="stub"9
2

S=class="stub"1
2
×(9-t)×4(t-3)=-2t2+24t-54.

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