首页 > 已知：如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA=OB=1，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ=45°，射线PQ交x轴于点Q．（1）求直线AB的解析式．（2）△OPQ能否是

已知：如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA=OB=1，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ=45°，射线PQ交x轴于点Q．（1）求直线AB的解析式．（2）△OPQ能否是

题目简介

已知：如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA=OB=1，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ=45°，射线PQ交x轴于点Q．（1）求直线AB的解析式．（2）△OPQ能否是

题目详情

已知：如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B两点，OA=OB=1，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ=45°，射线PQ交x轴于点Q．
（1）求直线AB的解析式．
（2）△OPQ能否是等腰三角形？如果能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
（3）无论m为何值，（2）中求出的P点是否始终在直线y=mx+
1-m
2
（m≠0）上？请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由OA=OB=1可知点A、B的坐标是A（0，1），B（1，0），
把A（0，1），B（1，0）代入y=kx+b得：
b=1
k+b=0
，
解得：k=-1，b=1，
则y=-x+1；

（2）△OPQ可以是等腰三角形．
过P点PE⊥OA交OA于点E，
（ⅰ）若OP=OQ，
则∠OPQ=∠OQP=∠OPQ，
∴∠POQ=90°，
∴点P与点A重合，
∴点P坐标为（0，1），
（ⅱ）若QP=QO，
则∠OPQ=∠QOP=45°，
所以PQ⊥QO，
可设P（x，x）代入y=-x+1得x=class="stub"1
2
，
∴点P坐标为（class="stub"1
2
，class="stub"1
2
），
（ⅲ）若PO=PQ，
∵∠OPQ+∠1=∠2+∠3，
而∠OPQ=∠3=45°，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠4=45°，
∴△AOP≌△BPQ（AAS），
PB=OA=1，
∴AP=
2
-1
由勾股定理求得PE=AE=1-
2
2
，
∴EO=
2
2
，
∴点P坐标为（1-
2
2
，
2
2
），
∴点P坐标为（0，1）或（class="stub"1
2
，class="stub"1
2
）或（1-
2
2
，
2
2
）时，△OPQ是等腰三角形．

（3）把x=0代入y=mx+class="stub"1-m
2
≠1；
把x=class="stub"1
2
代入y=mx+class="stub"1-m
2
=class="stub"1
2
；
把x=1-
2
2
代入y=mx+class="stub"1-m
2
≠
2
2
，
所以，（2）中求得的点P，只有当点P坐标为（class="stub"1
2
，class="stub"1
2
）时，P点始终在直线y=mx+class="stub"1-m
2
（m≠0）上．

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