已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）证明你的猜想，并求出an的表达式.-数学

题目简介

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）.
（1）试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出a_n的表达式.

题型：解答题难度：偏易来源：不详

（1）Sn=

（n∈N*）（2）an=

（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）
∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=

Sn-1（n≥2）
∵a1=1，∴S1=a1=1.
∴S2=

，S3=

，S4=

，
猜想Sn=

（n∈N*）.
（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.
②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=

，
当n=k+1时，
Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+

，
∴ak+1=

，
∴Sk+1=（k+1）2·ak+1=

，
∴n=k+1时等式也成立，得证.
∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.
又∵ak+1=

，∴an=