变量x、y满足x-4y+3≤03x+5y-25≤0x≥1，（1）求z=2x+y的最大值；（2）设z=yx，求z的最小值；（3）设z=x2+y2，求z的取值范围；（4）设z=x2+y2+6x-4y+13

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变量x、y满足

x-4y+3≤0

3x+5y-25≤0

x≥1

，
（1）求z=2x+y的最大值；
（2）设z=

，求z的最小值；
（3）设z=x²+y²，求z的取值范围；
（4 ）设z=x²+y²+6x-4y+13，求z的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

由约束条件

x-4y+3≤0

3x+5y-25≤0

x≥1

，
作出（x，y）的可行域如图所示．
由

x=1

3x+5y-25=0

，解得A（1，class="stub"22

）．
由

x=1

x-4y+3=0

，解得C（1，1）．
由

3x+5y-25=0

x-4y+3=0

，解得B（5，2）． …．（4分）
（1）zmax=12…．（7分）
（2）∵z=class="stub"y

∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．
观察图形可知zmin=kOB=class="stub"2

．…．（10分）
（3）z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin=OC=，dmax=OB=．∴2≤z≤29…..（13分）
（4）z=x2+y2+6x-4y+13=（x+3）2+（y-2）2的几何意义是可行域上的点到点（-3，2）的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到（-3，2）的距离中，dmin=1-（-3）=4，dmax═8．
∴16≤z≤64…（16分）

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变量x、y满足x-4y+3≤03x+5y-25≤0x≥1，（1）求z=2x+y的最大值；（2）设z=yx，求z的最小值；（3）设z=x2+y2，求z的取值范围；（4）设z=x2+y2+6x-4y+13

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