已知(xx+13x)n的展开式中,前三项的二项式系数之和为37.(1)求x的整数次幂的项;(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.-数学

题目简介

已知(xx+13x)n的展开式中,前三项的二项式系数之和为37.(1)求x的整数次幂的项;(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.-数学

题目详情

已知(x
x
+
1
3x
)n
的展开式中,前三项的二项式系数之和为37.
(1)求x的整数次幂的项;
(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)(x
x
+class="stub"1
3x
)
n
展开式的前三项的二项式系数之和为
Cn0+Cn1+Cn2=37
解得n=8
(x
x
+class="stub"1
3x
)
n
=(x
x
+class="stub"1
3x
)
8
的展开式的通项为
Tr+1=
Cr8
 (x
x
)
8-r
(class="stub"1
3x
)
r
=
Cr8
x12-class="stub"11r
6

当r=0,6时,x的指数为整数
∴x的整数次幂的项有x12,28x
(2)展开式共有9项
据展开式中间项的二项式系数最大
故展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数
证明:∵展开式第5项的二项式系数为
C48
=class="stub"8×7×6×5
1×2×3×4
=70
展开式第4项的二项式系数为C83
展开式第6项的二项式系数为C85
C58
=
C38
=class="stub"8×7×6
1×2×3
=56
<70
故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.

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