首页 > （1）已知z为虚数，z+9z-2为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）已知w=z+i（z∈C），且z-2z+2为纯虚数，求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值．-数学

（1）已知z为虚数，z+9z-2为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）已知w=z+i（z∈C），且z-2z+2为纯虚数，求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值．-数学

题目简介

（1）已知z为虚数，z+9z-2为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）已知w=z+i（z∈C），且z-2z+2为纯虚数，求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值．-数学

题目详情

（1）已知z为虚数，z+
9
z-2
为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）已知w=z+i（z∈C），且
z-2
z+2
为纯虚数，求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）z为虚数且z-2为纯虚数，可设z=2+bi（b∈R，b≠0）
又z+class="stub"9
z-2
=2+bi+class="stub"9
bi
=2+bi-class="stub"9
b
i=2+（b-class="stub"9
b
）i为实数，
所以b-class="stub"9
b
=0，b=±3
所以z=2±3i．
（2）设z=a+bi（a，b∈R，）
则class="stub"z-2
z+2
=
(a-2)+bi
(a+2)+bi
=
(a2+b2-4)+4bi
(a+2)2+b2

由于class="stub"z-2
z+2
为纯虚数，所以
(a2+b2-4)
(a+2)2+b2
 =0
class="stub"4b
(a+2)2+b2
≠0

即a2+b2=4，且b≠0．①
∴M=|w+1|2+|w-1|2=（a+1）2+（b+1）2+（a-1）2+（b+1）2
=2（a2+b2）+4b+4
=12+4b
由①可得出b∈[-2，2]且b≠0，所以b的最大值为2，从而M的最大值为20．
此时a=0，w=z+i=2i+i=3i．

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