首页 > 已知：f（x）=23cos2x+sin2x-3+1（x∈R）．求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期；（Ⅱ）f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若x∈[-π4，π4]时，求f（x）的值域．-数学

已知：f（x）=23cos2x+sin2x-3+1（x∈R）．求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期；（Ⅱ）f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若x∈[-π4，π4]时，求f（x）的值域．-数学

题目简介

已知：f（x）=23cos2x+sin2x-3+1（x∈R）．求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期；（Ⅱ）f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若x∈[-π4，π4]时，求f（x）的值域．-数学

题目详情

已知：f（x）=2
3
cos2x+sin2x-
3
+1（x∈R）．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求f（x）的值域．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

f（x）=sin2x+
3
（2cos2x-1）+1
=sin2x+
3
cos2x+1
=2sin（2x+class="stub"π
3
）+1---------------------------------------（4分）
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T=class="stub"2π
2
=π------------------（5分）
（Ⅱ）由2kπ-class="stub"π
2
≤2x+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2

得2kπ-class="stub"5π
6
≤2x≤2kπ+class="stub"π
6

∴kπ-class="stub"5π
12
≤x≤kπ+class="stub"π
12
，k∈Z
函数f（x）的单调增区间为[kπ-class="stub"5π
12
，kπ+class="stub"π
12
]，k∈Z-----------------（9分）
（Ⅲ）因为x∈[-class="stub"π
4
，class="stub"π
4
]，∴2x+class="stub"π
3
∈[-class="stub"π
6
，class="stub"5π
6
]，
∴sin（2x+class="stub"π
3
）∈[-class="stub"1
2
，1]，∴f（x）∈[0，3]．-----------------------------------（13分）

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