已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角求证:m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)

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已知函数f(x)=x²–(m+1)x+m(m∈R)
(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角

求证:m≥5;
(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;
(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明:f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4="0. " 依题意:

又A、B锐角为三角形内两内角
∴

＜A+B＜π
∴tan(A+B)＜0，即

∴

∴m≥5
(2)证明: ∵f(x)=(x–1)(x–m)
又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0
即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0
∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3
(3)解:
∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=

且

≥2,
∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.
即1+(m+1)+m=8，∴m=3

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已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角求证:m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)

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