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已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．（1）若n+3m2=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；（2）若对于任意的实数a∈[1，2]，b

题目简介

已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．（1）若n+3m2=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；（2）若对于任意的实数a∈[1，2]，b

题目详情

已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．
（1）若n+3m2=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值；
（2）若对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，函数f（x）在区间（a，b）上总是减函数，对每个给定的n，求m的最大值h（n）．
题型：解答题难度：中档来源：镇江一模

答案

（1）当n+3m2=0时，f（x）=x2+mx-3m2lnx．
则f′(x)=2x+m-
3m2
x
=
2x2+mx-3m2
x
=
(2x+3m)(x-m)
x
．
令f′（x）=0，得x=-class="stub"3m
2
（舍），x=m．（3分）
①当m＞1时，

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∴当x=m时，fmin（x）=2m2-3m2lnm．
令2m2-3m2lnm=0，得m=eclass="stub"2
3
．（5分）
②当0＜m≤1时，f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，当x=1时，fmin（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．综上所述，所求m为m=eclass="stub"2
3
．（7分）
（2）∵对于任意的实数a∈[1，2]，b-a=1，
f（x）在区间（a，b）上总是减函数，则对于x∈（1，3），
f′(x)=2x+m+class="stub"n
x
=
2x2+mx+n
x
＜0，
∴f′（x）≤0在区间[1，3]上恒成立．（9分）
设g（x）=2x2+mx+n，∵x＞0，
∴g（x）≤0在区间[1，3]上恒成立．
由g（x）二次项系数为正，得
g(1)≤0
g(3)≤0

即
m+n+2≤0
3m+n+18≤0
亦即
m≤-n-2
m≤-class="stub"n
3
-6.
（12分）
∵（-n-2）-(-class="stub"n
3
-6)=4-class="stub"2n
3
=-class="stub"2
3
(n-6)，
∴当n＜6时，m≤-class="stub"n
3
-6，当n≥6时，m≤-n-2，（14分）
∴当n＜6时，h（n）=-class="stub"n
3
-6，
当n≥6时，h（n）=-n-2，即h(n)=
-class="stub"n
3
-6，n＜6
-n-2，n≥6.
（16分）

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