若a,b∈(0,+∞),且a+b=ab,则a2+b2的最小值是______.-数学

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若a,b∈(0,+∞),且a+b=ab,则a2+b2的最小值是______.-数学

题目详情

若a,b∈(0,+∞),且a+b=ab,则a2+b2的最小值是______.
题型:填空题难度:偏易来源:不详

答案

a2+b2=(a+b)2-2ab
因为a+b=ab
所以 a2+b2=(ab)2-2ab+1-1=(ab-1)2-1
根据不等式定理a2+b2≥2ab,同理可得a+b≥2
ab

∴ab≥2
ab

ab
≥2
∴ab≥4 (等号当且仅当a=b=2时成立)
所以原式≥(4-1)2-1=8
∴最小值为8
故答案为8

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