已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x,y的正半轴与A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b,(a>2,b>2).(1)求线段AB中点的轨迹方程;(2)求ab的最小值.-

题目简介

已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x,y的正半轴与A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b,(a>2,b>2).(1)求线段AB中点的轨迹方程;(2)求ab的最小值.-

题目详情

已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x,y的正半轴与A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b,(a>2,b>2).
(1)求线段AB中点的轨迹方程;
(2)求ab的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设AB的中点坐标为(x,y),
由题意可知a=2x,b=2y,直线l的方程为 class="stub"x
a
+class="stub"y
b
=1
,即bx+ay-ab=0.
曲线C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,
所以曲线C为圆.
圆心到直线l的距离 d=
|b+a-ab|
a2+b2

当d=1时,直线与圆相切,
|b+a-ab|
a2+b2
=1
,整理得(a-2)(b-2)=2,
线段AB中点的轨迹方程为:(x-1)(y-1)=1,x>1,y>1.
(2)由(1)得到(a-2)(b-2)=2且a>2,b>2,
所以ab=2(a+b)-2≥4
ab
-2,当且仅当a=b时取等号,
所以当a=b时,ab最小即三角形的面积最小,则三角形AOB为等腰直角三角形
则ab=4
2
+6,此时a=b=
2 (
2
+1)
2
=
2
+2,
所以ab的最小值为:4
2
+6.

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