首页 > 边长为1的正三角形ABC的中心O，以O为圆心，在正三角形内画一个圆，（⊙O），再作⊙O1，⊙O2，⊙O3，分别与正三角形的两边及⊙O都相切，试求，这四个面积总和的最大值与最小值，并指-数学

边长为1的正三角形ABC的中心O，以O为圆心，在正三角形内画一个圆，（⊙O），再作⊙O1，⊙O2，⊙O3，分别与正三角形的两边及⊙O都相切，试求，这四个面积总和的最大值与最小值，并指-数学

题目简介

边长为1的正三角形ABC的中心O，以O为圆心，在正三角形内画一个圆，（⊙O），再作⊙O1，⊙O2，⊙O3，分别与正三角形的两边及⊙O都相切，试求，这四个面积总和的最大值与最小值，并指-数学

题目详情

边长为1的正三角形ABC的中心O，以O为圆心，在正三角形内画一个圆，（⊙O），再作⊙O1，⊙O2，⊙O3，分别与正三角形的两边及⊙O都相切，试求，这四个面积总和的最大值与最小值，并指出面积总和取最值时对应的⊙O的半径．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

设圆O的半径为x，已知圆O1，圆O2，圆O3的半径相等，设其为z，由AO1=2z，AO=
3
3
，
得：3z+x=
3
3
，
∴z=
3
9
-class="stub"x
3
，
设四个圆面积之和为y，则y=πx2+3π(
3
9
-class="stub"x
3
)2=class="stub"4π
3
(x-
3
12
)2+class="stub"π
12
，
不难得到x的取值范围为
3
3
-3
3
-1
4
≤x≤
3
6
，
∴x=
3
12
时，ymin=class="stub"π
12
，x=
3
6
时，ymax=class="stub"π
9
，
故当圆O的半径为
3
12
时，四圆面积和取最小值class="stub"π
12
；
当圆O的半径为
3
6
时，四圆面积和取最大值class="stub"π
9
．

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