已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D。（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）设OC与BE相交于点G，若OG=2，求⊙O半径

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已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC 于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D。
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG=2，求⊙O 半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE=3时，求图中阴影部分的面积。

题型：解答题难度：中档来源：北京模拟题

答案

证明：（1）连接OC（如图①），
∵OA=OC，
∴∠1=∠A
∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE=90°
∴∠1+∠AOE=90°
又∠FCA=∠AOE，
∴∠1+∠FCA=90°
即∠OCF=90°.
∴FD是⊙O的切线
（2）连接BC（如图②），
∵OE⊥AC，
∴AE=EC
又AO=OB，
∴OE∥BC且
∴△OEG∽△C
BG ∴
∵OG=2，
∴CG=4.
∴OC=6
即⊙O半径是6
（3）∵OE=3，由（2）知BC=2OE=6.
∵OB=OC=6，
∴△OBC是等边三角形
∴∠COB=60°
在Rt△OCD中，
∴

圆②

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已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D。（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）设OC与BE相交于点G，若OG=2，求⊙O半径

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