首页 > 如图，已知C是以AB为直径的半圆上的一点，AB=10，CD⊥AB于D点，以AD、DB为直径画两个半圆，EF是这两个半圆的外公切线，E、F为切点．（1）求证：CD=EF；（2）求证：四边形EDFC是矩形

如图，已知C是以AB为直径的半圆上的一点，AB=10，CD⊥AB于D点，以AD、DB为直径画两个半圆，EF是这两个半圆的外公切线，E、F为切点．（1）求证：CD=EF；（2）求证：四边形EDFC是矩形

题目简介

如图，已知C是以AB为直径的半圆上的一点，AB=10，CD⊥AB于D点，以AD、DB为直径画两个半圆，EF是这两个半圆的外公切线，E、F为切点．（1）求证：CD=EF；（2）求证：四边形EDFC是矩形

题目详情

如图，已知C是以AB为直径的半圆上的一点，AB=10，CD⊥AB于D点，以AD、DB为直径画两个半圆，EF是这两个半圆的外公切线，E、F为切点．
（1）求证：CD=EF；
（2）求证：四边形EDFC是矩形；
（3）若DB=|m|，则m是使关于x的方程x2+2（m-1）x+m2+3=0的两个实根的平方和为22的实数值，求矩形EDFC的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：取AD的中点O1，BD的中点O2，连接O1E，O2F，并过O2作O2H⊥O1E，交O1E于H．
∵EF是两圆的公切线，
∴O1E⊥EF，O2F⊥EF，
又∵O2H⊥O1E，
∴四边形EHO2F是矩形
∴EF=O2H
在Rt△O1O2H中，O2H2=（class="stub"1
2
AD+class="stub"1
2
BD）2-（class="stub"1
2
AD-class="stub"1
2
BD）2=AD•BD
∵CD⊥AB
∴CD2=AD•BD
∴CD=O2H=EF．

（2）证明：先设CD和EF交于点G，
∵EF，CD都是两圆的切线，
∴GD=GE=GF．
∴△EDF是直角三角形．
∴∠EDF=90°．
又∵DE=ED，∠FED=∠CDE，CD=FE，
∴△EDF≌△DEC．
∴∠DEC=90°．
同理∠DFC=90°．
∴四边形EDFC是矩形．

（3）设x1，x2是方程的两个实数根，
根据题意得，
x1+x2=-2(m-1)
x1•x2=m2+3

还能得到，x12+x22=22，三个式子联合，
解得，m1=-2，m2=6
根据图形可知，0＜DB＜5
DB=|-2|=2，
AD=8．
∵四边形EDFC是矩形，
∴C、F、B在同一直线上，同样C、E、A也在同一直线上．
∴DF∥AC．
∴class="stub"CF
BC
=class="stub"AD
AB
．
由（1）知，CD2=AD•BD=16，
∴CD=4．
在Rt△CDB中，BC=
BD2+CD2
=2
5
，
∴DE=class="stub"8
10
×BC=class="stub"8
5
5
．
同理可得，DF=class="stub"4
5
5
．
∴S矩形EDFC=CF•DF=class="stub"8
5
5
×class="stub"4
5
5
=class="stub"32
5
．

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