首页 > 已知等边△ABC边长为a，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙O1与⊙O2都不在△ABC的外部，且⊙O1、⊙O2分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、B

已知等边△ABC边长为a，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙O1与⊙O2都不在△ABC的外部，且⊙O1、⊙O2分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、B

题目简介

已知等边△ABC边长为a，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙O1与⊙O2都不在△ABC的外部，且⊙O1、⊙O2分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、B

题目详情

已知等边△ABC边长为a，D、E分别为AB、AC边上的动点，且在运动时保持DE∥BC，如图（1），⊙O1与⊙O2都不在△ABC的外部，且⊙O1、⊙O2分别与∠B和∠C的两边及DE都相切，其中和DE、BC的切点分别为M、N、M′、N′．
（1）求证：⊙O1和⊙O2是等圆；
（2）设⊙O1的半径长为x，圆心距O1O2为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）当⊙O1与⊙O2外切时，求x的值；
（4）如图（2），当D、E分别是AB、AC边的中点时，将⊙O2先向左平移至和⊙O1重合，然后将重合后的圆沿着△ABC内各边按图（2）中箭头的方向进行滚动，且总是与△ABC的边相切，当点O1第一次回到它原来的位置时，求点O1经过的路线长度？
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）连接MM′、NN′．
∵DE和BC是⊙O1的切线，DE∥BC，
∴MM′过点O1．同理NN'过点O2．∵MM′⊥BC，MM′⊥DE，NN′⊥BC
∴四边形MM′N′N是矩形．
∴MM′=NN′，即⊙O1和⊙O2是等圆；

（2）连接OlB，OlO2，O2C，OlM′，O2N′．
易证四边形O1BCO2是等腰梯形，四边形O1M′N′O2是矩形．
在Rt△O1BM′中，∠01BM′=30°，OlM′=x，
则BM′=
3
x．
∵y=O102=M′N′，BM′=N′C=
3
x，BC=BM′+M′N′+N′C，
∴y+2
3
=a，
∴y=a-2
3
x，
求得0＜x≤
3
6
a；

（3）当⊙Ol和⊙O2外切时，OlO2=2x，2x=a-2
3
x，
∴x=（
3
-1）class="stub"a
4
；

（4）当DE是△ABC的中位线时，求得x=
3
8
a．
此时BM'=
3
x=class="stub"3
8
a．
⊙O1的圆心O1所经过的路线是与△ABC相似，且各边与△ABC各边距离为
3
8
a的正三角形．
其边长为a-class="stub"3
8
a×2=class="stub"a
4
，
∴所求的圆心O1走过的长度为：class="stub"a
4
×3=class="stub"3
4
a．

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