首页 > 如图1，⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦BE与⊙O1相切于C，PB交⊙O1于D，PC的延长线交⊙O2于A，连接AB，CD，PE．（1）求证：①∠BPA=∠EPA；②ABAC=BCBD；（2）若⊙O

如图1，⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦BE与⊙O1相切于C，PB交⊙O1于D，PC的延长线交⊙O2于A，连接AB，CD，PE．（1）求证：①∠BPA=∠EPA；②ABAC=BCBD；（2）若⊙O

题目简介

如图1，⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦BE与⊙O1相切于C，PB交⊙O1于D，PC的延长线交⊙O2于A，连接AB，CD，PE．（1）求证：①∠BPA=∠EPA；②ABAC=BCBD；（2）若⊙O

题目详情

如图1，⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦BE与⊙O1相切于C，PB交⊙O1于D，PC的延长线交⊙O2于A，连接AB，CD，PE．
（1）求证：①∠BPA=∠EPA；②
AB
AC
=
BC
BD
；
（2）若⊙O1的切线BE经过⊙O2的圆心，⊙O1、⊙O2的半径分别是r、R，其中R≥2r，如图2，求证：PC•AC是定值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）①过点P作两圆公切线MN．
则∠MPB=∠PCD=∠A．
∴CD∥AB．
∴∠ABC=∠BCD．
∵BC是⊙O1的切线，
∴∠BCD=∠BPA．
∵∠ABC=∠EPA，
∴∠BPA=∠EPA．
②∵∠ABC=∠BPA，∠A=∠A，
∴△ABC∽△APB．
∴class="stub"AB
PA
=class="stub"BC
PB
，
∴class="stub"AB
BC
=class="stub"PA
PB
．
∵CD∥AB，
∴class="stub"PA
PB
=class="stub"AC
BD
=class="stub"AB
BC
．
即class="stub"AB
AC
=class="stub"BC
BD
．

（2）连接O1C，PO1．
则PO2经过点O1，且O1C=r，O1O2=R-r．
∵BE与⊙O1相切，
∴O1C⊥BE．
在Rt△CO1O2中，
CO2=
O1
O22
-O1C2
=
R2-2R
r，
∴BC=BO2+CO2=R+
R2-2Rr
．
EC=EO2-CO2=R-
R2-2Rr
．
∵PC•AC=EC•BC=2Rr．
∴PC•AC是定值．

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