首页 > 下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x-3成立；②若log2x+logx2≥2，则x＞1；③命题“若a＞b＞0且c＜0，则ca＞cb”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1．命题q：∃x

下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x-3成立；②若log2x+logx2≥2，则x＞1；③命题“若a＞b＞0且c＜0，则ca＞cb”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1．命题q：∃x

题目简介

下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x-3成立；②若log2x+logx2≥2，则x＞1；③命题“若a＞b＞0且c＜0，则ca＞cb”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1．命题q：∃x

题目详情

下列命题：①∀x∈R，不等式x2+2x＞4x-3成立；②若log2x+logx2≥2，则x＞1；③命题“若a＞b＞0且c＜0，则
c
a
＞
c
b
”的逆否命题；④若命题p：∀x∈R，x2+1≥1．命题q：∃x0∈R，x02-2x0-1≤0，则命题p∧¬q是真命题．其中真命题有______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

对于①，不等式x2+2x＞4x-3整理，得
原不等式等价于x2-2x+3＞0，
∵x2-2x+3=（x-1）2+2≥2＞0
∴原不等式恒成立，故①正确；
对于②，因为log2x•logx2=1，两个数互为倒数，
所以log2x与logx2同号，当log2x+logx2≥2时，
可得log2x与logx2都为正数，
根据基本不等式，有log2x+logx2≥2
log2x•logx2
=2，
此时有log2x＞0且logx2＞0，
∴x＞1，故②正确；
对于③，命题“若a＞b＞0且c＜0，则class="stub"c
a
＞class="stub"c
b
”的逆否命题与原命题同真同假，
因此判断原命题的真假性即可，
若a＞b＞0，两边都除以ab，得0＜class="stub"1
a
＜class="stub"1
b
…（*），
又因为c＜0，将（*）两边都乘以c，得0＞class="stub"c
a
＞class="stub"c
b
，
所以原命题是真命题，故③是真命题，正确；
对于④，∵x2≥0对任意的x∈R均成立，
∴命题p：“∀x∈R，x2+1≥1”是真命题．
∵存在x0=0，使得x02-2x0-1=-1≤0
∴命题q：“∃x0∈R，x02-2x0-1≤0”是真命题，
∴命题¬q是假命题．
∵命题“p∧¬q”当中有一个真命题，另一个是假命题
∴“p∧¬q”是假命题，故④不正确．
综上所述，真命题有三个：①②③，
故答案为：①②③

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