首页 > 函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值

题目简介

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值

题目详情

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f（x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有______（填上所有正确的序号）
①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=ex（x∈R）；③f（x）=
4x
x2+1
(x≥0)；④f（x）=loga(ax-
1
8
)(a＞0，a≠1)．
题型：填空题难度：中档来源：成都模拟

答案

函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②
f(a)=2a
f(b)=2b
，或
f(a)=2b
f(b)=2a
．
①f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，
则
f(a)=2a
f(b)=2b
，∴
a2=2a
b2=2b
，∴
a=0
b=2
，
∴f（x）=x2（x≥0），若存在“倍值区间”[0，2]；
②f（x）=ex（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，
则
f(a)=2a
f(b)=2b
，∴
ea=2a
eb=2b
，
构建函数g（x）=ex-x，∴g′（x）=ex-1，
∴函数在（-∞，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，
∴函数在x=0处取得极小值，且为最小值．
∵g（0）=1，∴，g（x）＞0，∴ex-x=0无解，故函数不存在“倍值区间”；
③f（x）=class="stub"4x
x2+1
（x≥0），f′（x）=
4(x2+1)-4x×2x
(x2+1)2
=
4(1+x)(1-x)
(x2+1)2
，
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，
则
f(a)=2a
f(b)=2b
，∴
class="stub"4a
a2+1
=2a
class="stub"4b
b2+1
=2b
，∴a=0，b=1，若存在“倍值区间”[0，1]；
④f（x）=loga（ax-class="stub"1
8
）（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m，n]，
则
f(a)=2a
f(b)=2b
，
f(m)=2m
f(n)=2n
，
∴
loga(am-class="stub"1
8
)=2m
loga(an-class="stub"1
8
)=2n
，
∴2m，2n是方程loga（ax-class="stub"1
8
）=2x的两个根，
∴2m，2n是方程a2x-ax+class="stub"1
8
=0的两个根，
由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]；
综上知，所给函数中存在“倍值区间”的有①③④．
故答案为：①③④．

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网