(1)求证:当a≥1时,不等式ex-x-1≤ax2e|x|2对于n∈R恒成立.(2)对于在(0,1)中的任一个常数a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1≤ax02ex02成立?如果存在,求出符合条

题目简介

(1)求证:当a≥1时,不等式ex-x-1≤ax2e|x|2对于n∈R恒成立.(2)对于在(0,1)中的任一个常数a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1≤ax02ex02成立?如果存在,求出符合条

题目详情

(1)求证:当a≥1时,不等式ex-x-1≤
ax2e|x|
2
对于n∈R恒成立.
(2)对于在(0,1)中的任一个常数a,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1≤
ax02ex0
2
成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:武汉模拟

答案

(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使ex-x-1≤
ax2e|x|
2
成立.
只需证:ex≤class="stub"a
2
x2ex+x+1
即需证:1≤class="stub"a
2
x2+class="stub"x+1
ex

y(x)=class="stub"a
2
x2+class="stub"x+1
ex
,求导数y′(x)=ax+
1•ex-(x+1)ex
(ex)2
=ax+class="stub"-x
ex

y′(x)=x(a-class="stub"1
ex
)
,又a≥1,求x≥0,故y'(x)≥0
∴y(x)为增函数,故y(x)≥y(0)=1,从而①式得证
(Ⅱ)在x≤0时,要使ex-x-1≤a
x2
2
e|x|
成立.
只需证:ex
ax2
2
e-x+x+1
,即需证:1≤
ax2
2
e-2x+(x+1)e-x

m(x)=
ax2
2
e-2x+(x+1)e-x
,求导数得m'(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]
而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数
故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x)≤0
∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证
由于①②讨论可知,原不等式e2-x-1≤
ax2
2
e|x|
在a≥1时,恒成立…(6分)
(2)将ex0-x0-1≤a•
x20
2
ex0
变形为
a
x20
2
+
x0
ex0
-1<0

要找一个X0>0,使③式成立,只需找到函数t(x)=
a
x
2
+class="stub"x+1
ex
-1
的最小值,
满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-class="stub"1
ex
)

令t'(x)=0得ex=class="stub"1
a
,则x=-lna,取X0=-lna
在0<x<-lna时,t'(x)<0,在x>-lna时,t'(x)>0t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=class="stub"a
2
(lna)2+a(-lna+1)-1

下面只需证明:class="stub"a
2
(lna)2-alna+a-1)<0
,在0<a<1时成立即可
又令p(a)=class="stub"a
2
(lna)2-alna+a-1
,对p(a)关于a求导数
p′(a)=class="stub"1
2
(lna)2≥0
,从而p(a)为增函数
则p(a)<p(1)=0,从而class="stub"a
2
(lna)2-alna+a-1<0
得证
于是t(x)的最小值t(-lna)<0
因此可找到一个常数x0=-lna(0<a<1),使得③式成立   …(14分)

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