设集合A={x|-1≤x≤a},P={y|y=x+1,x∈A},Q={y|y=x2,x∈A},(1)若Q∩P=Q,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使得P=Q?并说明理由.-数学

题目简介

设集合A={x|-1≤x≤a},P={y|y=x+1,x∈A},Q={y|y=x2,x∈A},(1)若Q∩P=Q,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使得P=Q?并说明理由.-数学

题目详情

设集合A={x|-1≤x≤a},P={y|y=x+1,x∈A},Q={y|y=x2,x∈A},
(1)若Q∩P=Q,求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得P=Q?并说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

根据集合中元素的数学意义,应将集合P、Q分别理解为一次函数与二次函数值域的集合,而它们的定义域均为集合A.
(1)∵P={y|0≤y≤a+1},而Q中函数值必须分类讨论.
①当-1≤a<0时,Q={y|a2≤y≤1},∵Q⊆P,∴
a2≥0
1≤a+1
,不合

②当0≤a≤1时,Q={y|0≤y≤1},∵P∩Q=Q,∴Q⊆P,∴1≤a+1,得0≤a≤1;
③当a>1时,Q={y|0≤y≤a2},∵Q⊆P,∴a2≤a+1,得1<a≤
1+
5
2

故,实数a的取值范围是:[0,
1+
5
2
]

(2)在(1)②中令a+1=1得a=0,此时P=Q={y|0≤y≤1};
在(1)③中令a+1=a2得a=
1+
5
2
,此时P=Q={y|0≤y≤
1+
5
2
}

故,存在实数a=0或a=
1+
5
2
使得P=Q

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