已知集合A为函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)的定义域,集合B={x|1-a2-2ax-x2≥0}.(I)若A∩B={x|12≤x<1},求a的值;(II)求证a≥2是A∩B=φ的充分不必要

题目简介

已知集合A为函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)的定义域,集合B={x|1-a2-2ax-x2≥0}.(I)若A∩B={x|12≤x<1},求a的值;(II)求证a≥2是A∩B=φ的充分不必要

题目详情

已知集合A为函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)的定义域,集合B={x|1-a2-2ax-x2≥0}.
(I)若A∩B={x|
1
2
≤x<1},求a的值;
(II)求证a≥2是A∩B=φ的充分不必要条件.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)要使函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)有意义,可得
1+x>0
1-x>0

即-1<x<1,∴A={x|-1<x<1},
由1-a2-2ax-x2≥0得x2+2ax+a2-1≤0即(x+a-1)(x+a+1)≤0,
∴-1-a≤x≤1-a
从而B={x|-1-a≤x≤1-a},
∵A∩B={x|class="stub"1
2
≤x<1},
-1-a=class="stub"1
2
1-a≥1
,解得a=-class="stub"3
2

(II)由(I)知:B=[-1-a,1-a]
当a≥2时,1-a≤-1,
由A=(-1,1),B=[-1-a,1-a],有A∩B=∅,
反之,若A∩B=∅,可取-a-1=2,解得a=-3,a<2,
所以a≥2是A∩B=∅的充分不必要条件;

更多内容推荐