已知x,y∈R+,且x+y=2,求1x+2y的最小值;给出如下解法:由x+y=2得2≥2xy①,即1xy≥1②,又1x+2y≥22xy③,由②③可得1x+2y≥22,故所求最小值为22.请判断上述解答

题目简介

已知x,y∈R+,且x+y=2,求1x+2y的最小值;给出如下解法:由x+y=2得2≥2xy①,即1xy≥1②,又1x+2y≥22xy③,由②③可得1x+2y≥22,故所求最小值为22.请判断上述解答

题目详情

已知x,y∈R+,且x+y=2,求
1
x
+
2
y
的最小值;给出如下解法:由x+y=2得2≥2
xy
①,即
1
xy
≥1
②,又
1
x
+
2
y
≥2
2
xy
③,由②③可得
1
x
+
2
y
≥2
2
,故所求最小值为2
2
.请判断上述解答是否正确______,理由______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

不正确,
因为当class="stub"1
xy
≥1
②,成立时当且仅当x=y=1时取等号.
class="stub"1
x
+class="stub"2
y
≥2
class="stub"2
xy
③,成立时当且仅当class="stub"1
x
=class="stub"2
y
,即y=2x取等号,当x=y=1时,y=2x不成立.
正确解法是:
因为x+y=2,所以class="stub"x+y
2
=1
,所以class="stub"1
x
+class="stub"2
y
=(class="stub"1
x
+class="stub"2
y
)?(class="stub"x
2
+class="stub"y
2
)=class="stub"1
2
+1+class="stub"x
y
+class="stub"y
2x
≥class="stub"3
2
+2
class="stub"x
y
?class="stub"y
2x
=class="stub"3
2
+
2

当且仅当class="stub"x
y
=class="stub"y
2x
,即y2=2x2,y=
2
x
时取等号.
故答案为:不正确,①和③不等式不能同时取等号.

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