如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点,(1)求证:BD⊥FG;(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由;

题目简介

如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点,(1)求证:BD⊥FG;(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由;

题目详情

如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,BD交AC于点E,F是PC中点,G为AC上一点,
(1)求证:BD⊥FG;
(2)确定点G在线段AC上的位置,使FG∥平面PBD,并说明理由;
(3)当二面角B-PC-D的大小为时,求PC与底面ABCD所成角的正切值.
题型:解答题难度:中档来源:0107 模拟题

答案

解:(Ⅰ)∵PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,
其对角线BD,AC交于点E,
∴PA⊥BD,AC⊥BD,
∴BD⊥平面APC,
平面PAC,
∴BD⊥FG;
(Ⅱ)当G为EC中点,即时,FG∥平面PBD;
理由如下:连接PE,由F为PC中点,G为EC中点,知FG∥PE,
而FG平面PBD,PB平面PBD,
故FG∥平面PBD.
(Ⅲ)作BH⊥PC于H,连结DH,
∵PA⊥面ABCD,四边形ABCD是正方形,
∴PB=PD,
又∵BC=DC,PC=PC,
∴△PCB≌△PCD,
∴DH⊥PC,且DH=BH,
∴∠BHD是二面角B-PC-D的平面角, 

∵PA⊥面ABCD,
∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角,
连结EH,则
,而BE=EC,



∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

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