如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,P为A1C1的中点,AB=BC=kPA,(1)当k=1时,求证:PA⊥B1C;(2)当k=且AB=2时,求三棱锥A-PBC的体

题目简介

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,P为A1C1的中点,AB=BC=kPA,(1)当k=1时,求证:PA⊥B1C;(2)当k=且AB=2时,求三棱锥A-PBC的体

题目详情

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,P为A1C1的中点,AB=BC=kPA,
(1)当k=1时,求证:PA⊥B1C;
(2)当k=且AB=2时,求三棱锥A-PBC的体积.
题型:解答题难度:中档来源:山西省模拟题

答案

(1)证明:连接B1P,∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,P为A1C1的中点,A1B1=B1C1,
∴B1P⊥面A1C,∴B1P⊥AP,
又∵当k=1时, AB=BC=PA=PC,
∴∠ABC=∠APC=90°,
∴AP⊥PC,∴AP⊥平面B1PC,
∴PA⊥B1C。 
(2)解:VA-PBC=VP-ABC,取线段AC的中点M,连接PM,则PM为三棱锥的高,
∵AB=2,
∴PA=4,AC=2,AM=
所以PM=
∴VA-PBC=VP-ABC=

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