设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.(1)求实数a、b的值;(2)求A2的逆矩阵.-高三数学

题目简介

设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.(1)求实数a、b的值;(2)求A2的逆矩阵.-高三数学

题目详情

设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.
(1)求实数a、b的值;
(2)求A2的逆矩阵.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)a=b=1(2)
(1)设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A对应的变换下的象是P′(x′,y′),由,得
因为P′(x′,y′)在圆x2+y2=1上,所以(ax)2+(bx+y)2=1,
化简可得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1,依题意可得a2+b2=2,2b=2a=1,b=1或a=-1,b=1,而由a>0可得a=b=1.
(2)由(1)AA2=|A2|=1,(A2)-1=.

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