首页 > 如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运-数学

如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运-数学

题目简介

如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运-数学

题目详情

如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AB的长；
（2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）作AE⊥BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，
∴BE=（BC-AD）÷2=2.5，
∵∠B=45°，
∴AB=
5
2
2
；

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B=∠C=45°，则△CQF是等腰直角三角形．
∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x，
∴BP=CQ=x，
∵BC=9，
∴CP=9-x，QF=
2
2
x，
设△PQC的面积为y，
∴y=（9-x）•
2
2
x•class="stub"1
2
，
即y=-
2
4
x2+
9
2
4
x=-
2
4
(x-class="stub"9
2
)2+
81
2
16
，
∵AB=
5
2
2
，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．BP=x，
∴0＜x≤
5
2
2
＜class="stub"9
2
，
∴当x=
5
2
2
时，△PQC的面积最大，最大值为：
y=class="stub"1
2
PC•QF=class="stub"1
2
（9-class="stub"5
2
2
）×class="stub"5
2

=class="stub"45
4
-
25
2
8
；

（3）不存在，
若存在，则PC=QC，
∴9-x=x，
∴x=class="stub"9
2
，
而class="stub"9
2
＞class="stub"5
2
2
，
∴边AB上不存在点M，使得四边形PCQM为菱形．

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