首页 > 已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB为⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别为A、B，连心线O1O2分别交⊙O1于D、交AB于C，连接AD、AP、BP．求证：（1）AD∥BP；（2）CP•CO1=C

已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB为⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别为A、B，连心线O1O2分别交⊙O1于D、交AB于C，连接AD、AP、BP．求证：（1）AD∥BP；（2）CP•CO1=C

题目简介

已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB为⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别为A、B，连心线O1O2分别交⊙O1于D、交AB于C，连接AD、AP、BP．求证：（1）AD∥BP；（2）CP•CO1=C

题目详情

已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB为⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别为A、B，连心线O1O2分别交⊙O1于D、交AB于C，连接AD、AP、BP．求证：（1）AD∥BP；（2）CP•CO1=CD•CO2；（3）
AD
AP
=
PC
BC
．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）过P作两圆的内公切线PE交AB于E，
∵EA、EP为⊙O1的切线，
∴EA=EP，
同理：EB=EP，
∴∠APB=90°，
∵PD是⊙O1的直径，
∴∠DAP=90°，
∴∠APB=∠DAP，
∴AD∥BP；

（2）由（1）知：AD∥BP⇒class="stub"CP
CD
=class="stub"CB
CA
，
连接O1A、O2B，AB分别切两圆于A、B，
∴
O1A⊥AB
O2B⊥AB
⇒O1A∥O2B⇒
CO2
CO1
=class="stub"CB
CA
，
∴class="stub"CP
CD
=
CO2
CO1
，
∴CP•CO1=CD•CO2；

（3）由（1）知：∠DAP=∠APB，
又AB是⊙O1的切线，AP是⊙O1的弦，
∴∠D=∠PAB，
∴△DAP∽△APB，
∴class="stub"AD
AP
=class="stub"AP
BP
，
又∵
AD||BP⇒∠BPC=∠D
∠PAC=∠PAB=∠D
⇒
∠BPC=∠PAC
∠C=∠C
=△CPA∽△CBP⇒class="stub"AP
BP
=class="stub"PC
BC
，
∴class="stub"AD
AP
=class="stub"PC
BC
．

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