如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，过P的直线交⊙O1于A，交⊙O2于B，AC切⊙O2于C，交⊙O1于D，且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-m+16x+4=0的两个根．（1）求证：∠1=∠2；（2）

题目简介

如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点P，过P的直线交⊙O₁于A，交⊙O₂于B，AC切⊙O₂于C，交⊙

O₁于D，且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-

m+16

x+4=0的两个根．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求PC的长；
（3）若弧BP=弧BC，且S_△PBC：S_△APC=1：k，求代数式m（k²-k）的值．

题型：解答题难度：中档来源：不详

（1）证明：过P作两圆的公切线MN，则有：
∠MPA=∠PCB=∠D；
又∵AD是⊙O2的切线，
∴∠PCD=∠PBC，
∴△PBC∽△PCD，
∴∠1=∠2．

（2）由（1）知：△PBC∽△PCD，得：
PB：PC=PC：PD，即PC2=PB•PD；
∵PB、PD的长是关于x的方程x2-

m+16

x+4=0的两个根，
∴PB•PD=4，
∴PC2=4，即PC=2．

（3）∵S△PBC：S△APC=1：k，
∴AP：BP=k：1，即AB：AP=（k-1）：1；
∵

，
∴∠1=∠BCP，BP=BC；
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠BCP；
∴BC∥PD，
∴△ABC∽△APD，
∴class="stub"BC

=class="stub"AB

，即class="stub"BP

=class="stub"AB

；
∴class="stub"BP

=class="stub"k-1

，即PB=class="stub"k-1

PD，
又∵PB+PD=

m+16

，
∴PB=

(k-1)

m+16

2k-1

，PD=

m+16

2k-1

；
∵PB•PD=4，即：

(k-1)

m+16

2k-1

m+16

2k-1

=4，
化简得：k（k-1）（m+16）=4（2k-1）2，即：
（m+16）k2-（m+16）k=16k2-16k+4，
mk2-mk=4，即m（k2-k）=4．