已知函数f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；（2）用函数的单调性的定义证明：

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已知函数f（x）=-2x²+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a≤1时，f（x）在区间[1，+∞）上为减函数；
（3）求对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方的实数x的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），x∈R恒成立，
即：-2x2+（a+3）x+1-2a=-2x2-（a+3）x+1-2a
∴a=-3
∴f（x）=-2x2+7；易知其对称轴为：x=0
∴当x=0时，f（x）max=7，当x=3时，f（x）min=-11；
（2）当a≤1时，f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．
设x1＞x2≥1，则f（x1）-f（x2）=）=-2x12+（a+3）x1+1-2a-（-2x22+（a+3）x2+1-2a，）
=-2（x12-x22）+（a+3）（x1-x2）
=（x1-x2）[-2（x1+x2）+a+3]
∵x1＞x2≥1，则x1-x2＞0，且-2（x1+x2）＜-4，
∵a≤1，∴a+3≤4，∴-2（x1+x2）+a+3＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数．
（3）对于任意a∈[-3，+∞），函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，
即-2x2+（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在a∈[-3，+∞）上恒成立，
即（x-3）a+2x+1＞0在a∈[-3，+∞）上恒成立，
设h（a）=（x-3）a+2x+1，
∴

x-3＞0

h(-3)＞0

，即

x-3＞0

-3(x-3)+2x+1＞0

，
解得3＜x＜10，
∴实数x的取值范围为（3，10）．

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已知函数f（x）=-2x2+（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；（2）用函数的单调性的定义证明：

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