首页 > 函数f(x)=x+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．-高一数学

函数f(x)=x+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．-高一数学

题目简介

函数f(x)=x+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．-高一数学

题目详情

函数f(x)=
x+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（ I）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，f（-x）=-f（x）…（2分）
故class="stub"-x+b
1+x2
=-class="stub"x+b
1+x2
，
所以b=0，…（4分）
所以f(x)=class="stub"x
1+x2
．…（5分）
（ II）设0＜x1＜x2＜1，△x=x2-x1＞0，…（6分）
则△y=f（x2）-f（x1）=
x2
1+
x22
-
x1
1+
x21
=
x2-x1+x2
x21
-x1
x22
(1+
x21
)(1+
x22
)
=
(x2-x1)(1-x1x2)
(1+
x21
)(1+
x22
)
=
△x(1-x1x2)
(1+
x21
)(1+
x22
)
…（8分）
∵0＜x1＜x2＜1，
∴△x=x2-x1＞0，1-x1x2＞0…（10分）
∴而1+
x21
＞0，1+
x22
＞0，
∴△y=f（x2）-f（x1）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）

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