首页 > 设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n．（1）求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn；（2）f(n)=n+3，n为正奇数2n+1，n为正偶

设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n．（1）求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn；（2）f(n)=n+3，n为正奇数2n+1，n为正偶

题目简介

设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n．（1）求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn；（2）f(n)=n+3，n为正奇数2n+1，n为正偶

题目详情

设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且Sn=n2+2n．
（1）求数列{an}及{bn}的通项公式an和bn；
（2）f(n)=
n+3，n为正奇数
2n+1，n为正偶数
问是否存在k∈N*使f（k+27）=4f（k）成立．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）对任意的正整数n，不等式
a
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
-
1
n-1+an+1
≤0恒成立，求正数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）an=a1+（n-1）d=4+n-1=n+3．
当n=1时，b1=S1=3．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1．
当n=1时上式也成立，
∴bn=2n+1（n∈N*）．
所以an=n+3，bn=2n+1．
（2）假设符合条件的k（k∈N*）存在，
由于f（n）=
n+3，n为正奇数
2n+1，n为正偶数
∴当k为正奇数时，k+27为正偶数
由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3）．∴2k=43，k=class="stub"43
2
．（舍）
当k为正偶数时，k+27为正奇数，
由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1）．即7k=26，∴k=class="stub"26
7
．（舍）
因此，符合条件的正整数k不存在
（3）将不等式变形并把an+1=n+4代入得a≤class="stub"1
2n+3
(1+class="stub"1
b1
)(1+class="stub"1
b2
)(1+class="stub"1
b3
)…(1+class="stub"1
bn
）．
设g（n）=class="stub"1
2n+3
(1+class="stub"1
b1
)(1+class="stub"1
b2
)…(1+class="stub"1
bn
）．∴
g(n+1)
g(n)
=
2n+3
2n+5
(1+class="stub"1
bn+1
)=
2n+3
2n+5
×class="stub"2n+4
2n+3
=class="stub"2n+4
2n+5
2n+3
．
又∵
(2n+5)(2n+3)
＜
(2n+5)+(2n+3)
2
=2n+4，∴
g(n+1)
g(n)
＞1，即g（n+1）＞g（n）．∴g（n）随n的增大而增大，故g（n）min=g（1）=class="stub"1
5
(1+class="stub"1
3
)=
4
5
15
．∴0＜a≤
4
5
15
．

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