首页 > 设函数f（x）=p（x-1x）-2lnx，g（x）=2ex．（p是实数，e是自然对数的底数）（1）当p=2时，求与函数y=f（x）的图象在点A（1，0）处相切的切线方程；（2）若f（x）在其定义域内为

设函数f（x）=p（x-1x）-2lnx，g（x）=2ex．（p是实数，e是自然对数的底数）（1）当p=2时，求与函数y=f（x）的图象在点A（1，0）处相切的切线方程；（2）若f（x）在其定义域内为

题目简介

设函数f（x）=p（x-1x）-2lnx，g（x）=2ex．（p是实数，e是自然对数的底数）（1）当p=2时，求与函数y=f（x）的图象在点A（1，0）处相切的切线方程；（2）若f（x）在其定义域内为

题目详情

设函数f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
．（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）当p=2时，求与函数y=f（x）的图象在点A（1，0）处相切的切线方程；
（2）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求p的取值范围；
（3）若在[1，e]上至少存在一点xo，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：宿州三模

答案

（1）∵f′(x)=p+class="stub"p
x2
-class="stub"2
x
，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，
即px2-2x+p≥0恒成立，即p≥class="stub"2x
x2+1
=class="stub"2
x+class="stub"1
x
恒成立，又class="stub"2
x+class="stub"1
x
≤1，
所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，即px2-2x+p≤0恒成立，即p≤class="stub"2x
x2+1
=class="stub"2
x+class="stub"1
x
恒成立，又class="stub"2
x+class="stub"1
x
＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0
（2）∵f′(x)=
px2-2x+p 
x2
，，∴f’（1）=2（p-1），设直线l：y=2（p-1）（x-1），
∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p-1）（x-1）得（p-1）（x-1）=class="stub"e
x
，即（p-1）x2-（p-1）x-e=0
y=class="stub"2e
x
当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p-1）2-4（p-1）（-e）=0，得p=1-4e，综上，p=1-4e
（3）因g（x）=class="stub"2e
x
在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e-class="stub"1
e
）-2lne＞2⇒p＞class="stub"4e
e2-1
③当0＜p＜1时，因x-class="stub"1
x
≥0，x∈[1，e]
所以f（x）=p（x-class="stub"1
x
）-2lnx≤（x-class="stub"1
x
）-2lnx≤e-class="stub"1
e
-2lne＜2不合题意
综上，p的取值范围为（ class="stub"4e
e2-1
，+∞）

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