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已知z1，z2是复数，求证：若|z1-.z2|=|1-z1z2|，则|z1|，|z2|中至少有一个值为1．-数学

题目简介

已知z1，z2是复数，求证：若|z1-.z2|=|1-z1z2|，则|z1|，|z2|中至少有一个值为1．-数学

题目详情

已知z1，z2是复数，求证：若|z1-
.
z2
|=|1-z1z2|，则|z1|，|z2|中至少有一个值为1．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证：∵|z1-
.
z2
|=|1-z1z2|
∴|z1-
.
z2
|2=|1-z1z2|2．
∴（z1-
.
z2
）
.
(z1-
.
z2
)
=（1-z1z2）
.
(1-z1z2)
．
∴（z1-
.
z2
）（
.
z1
-z2）=（1-z1z2）（1-
.
z1
.
z2
）．
化简后得z1
.
z1
+z2
.
z2
=1+z1z2
.
z1
.
z2
．
∴|z1|2+|z2|2=1+|z1|2•|z2|2．
∴（|z1|2-1）（|z2|2-1）=0．∴|z1|2=1，或|z2|2=1．
∴|z1|，|z2|中至少有一个为1．

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