在△ABC中,若A=C2,求证:13<c-ab<12.-数学

题目简介

在△ABC中,若A=C2,求证:13<c-ab<12.-数学

题目详情

在△ABC中,若A=
C
2
,求证:
1
3
c-a
b
1
2
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

由正弦定理得
class="stub"c-a
b
=class="stub"sinC-sinA
sinB

因为A+B+C=180°,所以sinB=sin(A+C)
代入条件C=2A
class="stub"c-a
b
=class="stub"sin2A-sinA
sin3A

sin2A=2sinAcosA,sin3A=3sinA-4sin3A,代入并约去sinA
class="stub"c-a
b
=class="stub"2cosA-1
3-4sin2A
=class="stub"2cosA-1
4cos2A-1
=class="stub"1
2cosA+1

因为A+C<180°,所以A+2A<180°,A<60°
所以class="stub"1
2
<cosA<1,2<2cosA+1<3
所以class="stub"1
3
class="stub"1
2cosA+1
class="stub"1
2

class="stub"c-a
b
的取值范围是class="stub"1
3
class="stub"c-a
b
class="stub"1
2
,用区间表示为(class="stub"1
3
class="stub"1
2

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