设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式，又如果S2n＜3,求q的取值范围-高三数学

题目简介

设实数q满足|q|＜1,数列{a_n}满足：a₁=2,a₂≠0,a_n·a_n₊₁=－qⁿ,求a_n表达式，又如果

S_2n＜3,求q的取值范围

题型：解答题难度：偏易来源：不详

－1＜q＜0或0＜q＜

∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,
∴q≠0,a2=－

,
∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1
两式相除，得

,即an+2=q·an
于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

qn(n=1,2,3,…)
综合①②，猜想通项公式为an=

下证：(1)当n=1,2时猜想成立
(2)设n=2k－1时，a2k－1=2·qk－1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1
∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.
可推知n=2k+1也成立.
设n=2k时，a2k=－

qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k,
所以a2k+2=－

qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.
综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.
这样所求通项公式为an=

S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)
=2(1+q+q2+…+qn-1)－

(q+q2+…+qn)

由于|q|＜1,∴

依题意知

＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜