已知数列{an}的前n项和Sn满足(p-1)Sn=p2-an(p>0,p≠1),且a3=,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,数列{bnbn+2}的前n项和为Tn,若对于任意的正整数n,都

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn满足(p-1)Sn=p2-an(p>0,p≠1),且a3=,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,数列{bnbn+2}的前n项和为Tn,若对于任意的正整数n,都

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn满足(p-1)Sn=p2-an(p>0,p≠1),且a3=
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bnbn+2}的前n项和为Tn,若对于任意的正整数n,都有Tn<m2-m+成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:同步题

答案

解:(1)由题设知(p-1)a1=p2-a1,解得p=a1或p=0(舍去),
由条件可知(p-1)S2=(p-1)(a1+a2)=p2-a2,解得a2=1,
再由(p-1)S3=(p-1)(a1+a2+a3)=p2-a3,解得a3=
由a3=可得=,故p=3=a1,
所以2Sn=9-an,则2Sn+1=9-an+1,
以上两式作差得2(Sn+1-Sn)=an-an+1,
即2an+1=an-an+1,故an+1=an,
可见,数列{an}是首项为3,公比为的等比数列,
故an=3()n-1=32-n;
(2)因为bn=
所以bnbn+2=
Tn=b1b3+b2b4+b3b5+…+bnbn+2


故要使Tn<m2-m+恒成立,只需
解得m≤0或m≥1;
故所求实数m的取值范围为(-∞,0]∪[1,+∞).

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